Найменша сума відстаней від довільної точки до вершин

Найменша сума відстаней  від довільної точки до вершин трикутника або вершин  чотирикутника

Задача. Дано довільний трикутник АВС.  Знайти точку D, від якої  сума відстаней до вершин трикутника АВС найменша.

Розв'язання.  Позначимо довжини сторін трикутника АВС, відповідно а, b, c. Знайдемо дві найменші сторони трикутника АВС.  Доведемо, що шукана точка D  для трикутника АВС буде вершиною трикутника АВС, з якою виходять дві найменші сторони даного трикутника.  Не втрачаючи  загальності, позначимо точкою А ту вершину трикутника, із якої виходять дві найменші сторони.   Якщо взяти будь-яку точку  D₁, що лежить не на сторонах  трикутника АВС, то:

а)   із властивості нерівності  трикутника  для АВD₁, слідує наймешна сума  із  двох можливих  відстаней  від точки D₁  – це  довжина  АВ( це випадок, коли точка D₁ лежить на сторні АВ);

 б)   із властивості нерівності  трикутника  для АСD₁, слідує наймешна сума  двох можливих відстаней  від точки D₁  – це  довжина  АС( це випадок, коли точка D₁ лежить на сторні АС).  

Таким чином, найменша  сума відстаней від точки  А  до інших вершин трикутника дорівнює АВ+АС.   Таким чином, шукана точка  D співпадає з вершиною А даного трикутника АВС.

Відповідь. Точка D лежить у вершині трикутника, із якої виходять дві найменші сторони даного трикутника.

Задача. Дано  чотирикутник АВСD, у якого діагоналі перпендикулярні.  Знайти точку  Е, від якої  сума відстаней до вершин чотирикутника АВСD  найменша, якщо чотири вершини не утворюють трикутник.

Точка Е лежить  в точці перетину діагоналей. Для цієї точки  виконуються одночасно дві умови: 

а)  точка Е лежить на найменшій діагоналі чотирикутника; 

б) із точки Е виходять   два перпендикуляри(це найкоротші відстані) до  двох вершин даного чотирикутника так,  як сума  двох  відстаней від точки Е до інших вершин найменша.