Найменша сума відстаней від довільної точки до вершин
Найменша сума відстаней від довільної точки до вершин трикутника або вершин чотирикутника Задача. Дано довільний трикутник АВС. Знайти точку D , від якої сума відстаней до вершин трикутника АВС найменша. Розв'язання. Позначимо довжини сторін трикутника АВС, відповідно а, b , c . Знайдемо дві найменші сторони трикутника АВС. Доведемо, що шукана точка D для трикутника АВС буде вершиною трикутника АВС, з якою виходять дві найменші сторони даного трикутника. Не втрачаючи загальності, позначимо точкою А ту вершину трикутника, із якої виходять дві найменші сторони. Якщо взяти будь-яку точку D 1 , що лежить не на сторонах трикутника АВС, то: а) із властивості нерівності трикутника для АВ D 1 , слідує наймешна сума із двох можливих відстаней від точки D 1 – це довжина АВ( це випадок, коли точка D 1 лежить на сторні АВ); б) із властивості нерівності трикутника для АС D 1 , слідує наймешна сума двох можливих відстаней