Інваріант - це парність

Завдання 1: Чи існує 25-ланкова ламана, така, що перетинає кожну свою ланка рівно один раз?

Розв’язання: Ні. Ланки повинні розбиватися на пари пересічних

Завдання 2: Чи може обертатися система з 11 шестерінок, якщо 1-а зчеплена з 2-ою, 2-а – з 3-ою і так далі, а 11-а зчеплена з 1-ою?

Розв’язання: Ні. Напрями обертання шестерінок повинні чергуватися.

Завдання 3: Чи може пряма, що не містить вершин 1001-угольника, перетинати кожну його сторону?

Розв’язання: Ні. Будь-які сусідні дві вершини 1001-кутника повинні лежати по різні сторони від прямої.

Завдання 4: На клітчастому папері намальований замкнутий шлях (по лініях сітки). Довести, що він має парну довжину (сторона клітки має довжину 1) .

Розв’язання:  При проходженні шляху кроків вгору повинно бути стільки ж, скільки кроків вниз, а кроків управо - стільки ж, скільки кроків вліво.

Завдання 5: Равлик повзе по площині з постійною швидкістю, повертаючи на 90 градусів кожні 15 хвилин. Довести, що він може повернутися в початкову точку тільки через ціле число годин.

Розв’язання: Управо равлик повинен повзти стільки ж часу, скільки вліво, а вгору - стільки ж, скільки вниз. Означає равлик проповз парне число вертикальних і парне число горизонтальних «п'ятнадцятихвилинних» відрізків. До того ж вертикальні і горизонтальні відрізки чергуються, а це означає,що загальне їх число ділиться на 4.

Завдання 6: Довести, що будь-яка вісь симетрії 45-кутника проходить через його вершину.

Завдання 7: Чи може коник за 25 стрибків повернутися в початкову позицію, якщо він стрибає:

a) по прямій в будь-яку сторону на непарну відстань.

b) по площині на відстань 1 в будь-якому з 4 основних напрямів (вгору, вниз, управо, вліво).

с) по площині ходом коня (тобто, по діагоналі прямокутника 1 х2).

d) по діагоналі прямокутника ахb (а і b фіксовані).

Розв’язання: Рішення: d) Ні. Якщо а і b обидва непарні, то кожна координата коника при стрибку міняє парність. Якщо ж одне з чисел а і b парно, а інше непарне, то сума координат при кожному стрибку міняє парність. Якщо ж а і b обидва парні, то можна зменшувати їх удвічі до тих пір, поки одне з них не стане непарним, а після цього скористатися одним з вже розібраних випадків.

Завдання 8: Коник стрибає по прямій: перший раз - на 1 см, другий раз - на 2 см і так далі. Чи може він через 25 стрибків повернутися на старе місце?

Завдання 9: Парне чи непарне число 1 + 2 + 3 +  .  + 1990?

Вказівка. Порахуйте кількість непарних чисел в цій сумі.

Завдання 10: Набір доміно виклали в ряд за правилами. На одному кінці ланцюжки - п'ятірка. Що на іншому?

Розв’язання:Теж п'ятірка. П'ятірки усередині ланцюжка розбиваються на пари. Всього їх вісім на усіх кісточках.

Завдання 11: З набору доміно викинули всі кістки з пустушками. Чи можна що залишилися викласти в ряд за правилами?

Завдання 12: У виразі 1*2*3* … *9 зірочки замінюють на  -  або  + .  a) Чи може вийти 0?  b) Чи може  вийти 1?   c) Які числа можуть вийти?

Розв’язання: с) Всі непарні числа від  - 45 до 45.

Завдання 13: У кожного марсіанина три руки. Чи можуть 7 марсіан узятися за руки?

Завдання 14: Добуток чисел 1 і  - 1 рівне 1. Довести, що їх сума не рівна нулю.

Завдання 15: Чи може 25-ланкова ламана перетинати кожну свою ланку по 3 рази?

Розв’язання: Не може. Спробуйте підрахувати кількість точок перетину.

Завдання 16: Чи можна сторони і діагоналі правильного 13-угольника розфарбувати в 12 кольорів так, щоб в будь-якій вершині сходилися всі кольори?

Завдання 17: На дошці 25х25 розставлені 25 фішок, причому їх розташування симетрично відносне обох головних діагоналей. Довести, що одна з фішок розташована в центрі.

Завдання 18: Дошка 9х9 розфарбована в 9 кольорів, причому розфарбовування симетричне щодо головної діагоналі. Довести, що на цій діагоналі всі клітки розфарбовані в різні кольори.

Розв’язання: Простіше доводити, що кожний колір зустрічається на діагоналі.

Завдання 19: На шахівниці 8х8 розташовані 8 тур, які не б'ютьодин одну. Довести, що число тур, що стоять на чорних клітках, парне.

Розв’язання: Колір клітки визначається сумою її координат. Сума ж координат всіх тур парна (вона не залежить від розстановки і рівна 2(1 + 2 +  ….+ 8)).

Завдання 20: Три коники грають в чехарду: кожну секунду один з них стрибає через якесь іншого (але не через два). Чи можуть вони через 25 секунд повернутися на свої місця?

Завдання 21: По колу розташовано 239 точок двох кольорів. Довести, що знайдуться дві точки одного кольору, розділені рівно двома точками.

Завдання 22: У вершинах куба написані числа 1 і  - 1. На кожній грані написаний добуток чисел в кутках цієї грані. Чи може сума всіх написаних чисел бути рівна нулю?

Розв’язання: Ні. Чисел всього 8+6=14, а їх добуток рівний 1.

Завдання 23: У таблиці 25х25 розставлені цілі числа так, що в кожному стовпці і в кожній строчці зустрічаються всі числа від 1 до 25. При цьому таблиця симетрична щодо головної діагоналі. Довести, що на головній діагоналі всі числа від 1 до 25 зустрічаються по одному разу.

Завдання 24: n лицарів з двох ворогуючих країн сидять за круглим столом. Число пар сусідів-друзів рівне числу пар сусідів-ворогів. Довести, що n ділиться на 4.

Розв’язання: Число пар сусідів-ворогів завжди парне.

Завдання 25: По кругу написано 4 одиниці і 5 нулів. За хід між двома однаковими цифрами пишеться одиниця, а між різними - нуль (старі цифри стираються). Чи можуть через декілька ходів всі числа стати однаковими?

Розв’язання: Ні. З чого могла вийти така позиція?

Завдання 26: У квадраті 25 х25 розташовані числа 1 і  - 1. Обчислили всі добутки цих чисел по рядках і по стовпцях. Довести, що сума цих добутків не рівна нулю.

Завдання 27: По кругу розставлені нулі і одиниці (і ті та інші присутні). Кожне число, у якого два сусіди однакові, замінюють на нуль, а решта чисел - на одиниці, і таку операцію проробляють кілька разів. a) чи можуть всі числа стати нулями, якщо їх 13 штук?  b) чи можуть всі числа стати одиницями, якщо їх 14 штук?

Завдання 28: У вершинах n-кутника стоять числа 1 і - 1. На кожній стороні написаний добуток чисел на її кінцях. Виявилось, що сума чисел на сторонах рівна нулю. Довести, що а) n парно b) n ділиться на 4.