Рівняння кола

Коло на площині, даного радіуса r, у певній вибраній декартовій системі координат x і y, з центром в точці (a, b) описується стандартним рівнянням кола:

 (х - а)² + (у - b)² = R²,

де С(а; b) – центр кола, R – радіус кола.

У полярній системі координат рівняння кола має вигляд  r = R.

Це рівняння випливає з теореми Піфагора, при її застовуванні до кожної точки кола, як показано на рисунку справа, де радіус це гіпотенуза прямокутного трикутника, катети якого x − a та y − b. Якщо центр кола знаходиться в початку координат (0, 0), тоді рівняння спрощується до такого вигляду:

  х² + у² = R²,

Загальне рівняння кола:

ах² + аy² + dx + ey + f = 0,

де  а≠0, d,  e, f  - відомі дійсні числа,  х, у – змінні. Виділенням повних квадратів відносно змінної х та відносно змінної у, це рівняння можна звести до  вигляду:  (х - а)² + (у - b)² = R².

Наприклад для рівняння:  х² + y² + dx + ey + f = 0,

x² + dx + 0,25d² + y²+ ey+ 0,25e² = −f+0,25d²+0,25e²

(x + 0,5d)² + (y + 0,5e)²= −f + 0,25d² + 0,25e²

Якщо відомі координати трьох точок на площині

(х₁; у₁),  (х₂; у₂), (х₃; у₃),

то рівняння кола, яке проходить через ці точки можна записати через визначник det A = 0 квадратної матриці А четвертого порядку, що має над мірний  вигляд.

Параметричне означення кола.

Коло на площині, даного радіуса r, у певній вибраній декартовій системі координат x і y, описується системою рівнянь:

 x = a + r*cost

 y = b + r*sint

де параметр  t ‒ пробігає значення від 0 до  2π.

З геометричної точки зору це кут до осі x, променя проведеного з початку координат до точки (x, y). Якщо записати x та y через параметр t, отримаємо:

 x = a + r(1 ‒ t²)(1 + t²)^-1

 y = b + 2rt(1 + t²)^-1.

Полярні координати рівняння кола.

Рівняння кола в полярних координатах:

   r² ‒ 2rr₀ cos(θ – φ) + r₀² = a²

де a – радіус кола, r₀ ‒ відстань від початку координат до центру кола та φ – кут відкладений проти годинникової стрілки від додатньої осі x до лінії що з’єднує початок координат з центром кола.

Для кола, центр якого знаходиться в початку координат r₀ = 0, це рівняння спрощується до вигляду r = a. Якщо r₀ = a або якщо початок координат лежить на колі, тоді отримуємо рівняння:

  r = 2acos(θ – φ).

В загальному випадку, рівняння можна розв’язати для r:

r = 2r₀cos(θ – φ)+( a² ‒ r₀²sin²(θ – φ))^0,5.

Розвязок із знаком мінус перед коренем дає ідентичну криву.

Рівняння кола на комплексній площині:

  |z –z₀| = R

або в параметричному вигляді

   z = z₀+ Re^it, t є R

Означення Аполлонія

  d₁(d₂)^-1 = const

Аполлоній із Перги показав, що коло можна також задати як множину точок на площині, які мають однакове відношення відстаней до двох фокусів A і B. Про таке коло іноді кажуть, що воно задане двома точками.

ВЛАСТИВОСТІ КОЛА

Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести коло, і при тому тільки одне.

Точка дотику двох кіл лежить на прямій, що проходить через їхні центри.

Відстань між колами, що не мають спільних точок – це відрізок, що лежить на прямій між двома колами, що проходить через їхні центри.

Ізопериметрична нерівність: З усіх замкнутих кривих даної довжини коло обмежує область максимальної площі.

Вписаний кут або дорівнює половині центрального кута, що спирається на його дугу, або доповнює половину цього кута до 180°.

Два вписаних кути, що спираються на одну й ту ж дугу, рівні.

Вписаний кут, що спирається на дугу довжиною в половину кола дорівнює 90°.

Кут між двома січними, проведеними з точки, що лежить поза колом дорівнює піврізниці мір дуг, що лежать між січними.

Кут між хордами, що перетинаються дорівнює півсумі мір дуги, що лежить у куті і дуги навпроти неї.

Кут між дотичною та хордою дорівнює половині градусної міри дуги, що стягується хордою.

Відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки, рівні й утворюють рівні кути з прямою, що проходить через цю точку і центр кола.

При перетині двох хорд добуток відрізків, на які ділиться одна з них точкою перетину, дорівнює добутку відрізків на які ділиться інша.

Добуток довжин відстаней від обраної точки до двох точок перетину кола та січної, що проходить через обрану точку, не залежить від вибору січної і дорівнює абсолютній величині ступені точки відносно кола.

Квадрат довжини відрізка дотичної дорівнює добутку довжин відрізків січної і дорівнює абсолютній величині міри точки відносно кола.

Довжина кола і площа круга

Довжину дуги кола з радіусом R, утвореного центральним кутом j, виміряним у радіанах, можна обчислити за формулою

 L = Rj.

Довжину кола з радіусом R можна обчислити за формулою

 C = 2πR. С» 6,28R

де π  ‒ число пі, яке визначається як відношення довжини кола до його діаметра.

Площа обмеженого колом круга дорівнює

S = πR²=  0,25 πD².  S » 3,14R².

де   D = 2R ‒ діаметр.

Історична довідка.

Упродовж багатьох століть математиків цікавила задача про квадратуру кола: побудову за допомогою лінійки та циркуля квадрату з площею, що дорівнювала б площі круга. Ця задача не має розв'язку, оскільки число пі трансцедентне, що довів у 1882 Фердинанд фон Ліндеманн.

Коло як конічний переріз

Коло є простою плоскою кривою другого порядку і класифікується як один із видів конічного перетину. У вужчому сенсі коло ‒ це окремий випадком еліпса, тобто еліпс із однаковими півосями, або іншими словами коло є еліпсом із одиничним ексцентриситетом.

Дотичні і нормалі

Рівняння дотичної до кола в точці (х₁; у₁) визначається рівнянням

(0,5А + х₁)х + (0,5В + у₁)у +( 0,5Ах₁ + 0,5Ву₁  + С) = 0,

де A, B і С ‒ коефіцієнти в загальному рівнянні кола.

Рівняння нормалі в цій же точці (х₁; у₁) можна записати як

 (х ‒ х₁)(2х₁ + А)^-1 = (у ‒ у₁)(2у₁ + В)^-1.