Поділ на частини відрізків у трикутнику

ВІДНОШЕННЯ  ВІДРІЗКІВ, ЩО УТВОРЮЮТЬСЯ НА СТОРОНАХ ТРИКУТНИКА  ВНУТРІШНІМИ  ЛІНІЯМИ

Розглядається класична задача на знаходження відношення  відрізків, що утворюються на сторонах трикутника  прямими  лініями, які виходять з вершин трикутника і перетинаються в одній точці, якщо відомо відношення для двох відрізків.

Задача. Нехай існує трикутник АВС, у якого з вершини А та з вершини В проведено два відрізки CC₁ та ВВ₁. Ці відрізки перетинаються у точці О і точкою поділу діляться на частини

АО:ОА₁ = x:y

та

ВО:ОВ₁= p:q.

У якому відношенні ділиться точкою О відрізок СС₁, та у якому відношенні ділиться кожна сторона  трикутника АВС точками А₁, В₁, С₁?

Доведемо, що

1)   OC:OC₁= [уp + 2yq + qx]:[xp - yq];

2)   AC₁:C₁B = [q(x + y)]:[(p + q)y];

3)   AB₁ : B₁C = [px - yq]:[py + qy];

4)   BA₁ : A₁C = [xp - yq]:[qx + qy].

Розв’язання. Скористаємося методом площ. Ведемо такі позначення площ трикутників, які утворюються точкою перетину трьох прямих.  Нехай S - площа трикутника АВС,  S_OBC - площа трикутника ОВС,

S_OАC - площа трикутника ОАС, S_OBА - площа трикутника ОВА.

Складаємо відношення площ трикутників ОВС та АВС:

S_OBC :S = ОА₁:АА₁ = у:(x+y)  або  S_OBC = Sу:(x + y). 

Складаємо відношення площ трикутників ОАС та АВС:

S_OAC :S = ОВ₁:ВВ₁ = q:(p+q)  або  S_OAC = Sq:(p + q). 

Оскільки  S = S_OBC + S_OAC + S_OAB , то складаємо відношення площ трикутників ОАВ та АВС:

S_OAВ = S - S_OBC + S_OAC = S - Sу:(x + y) - Sq:(p + q),

S_OAВ = S(1 - у:(x + y) - q:(p + q)),

або  

S_OAВ : S = ОС₁:СС₁ = 1 - у:(x + y) - q:(p + q) = [xp - yq]:[(x + y)(p + q)]   

CO:OC₁=  (СС₁ – ОС₁):ОС₁ =(1− OC₁:CC₁):(OC₁:CC₁)

1− OC₁:CC₁ = у:(x + y) + q:(p + q)],

OC₁:CC₁ = [xp - yq]:[(x + y)(p + q)], 

CO:OC₁=  =  [у:(x + y) + q:(p + q)]: ([xp - yq]:[(x + y)(p + q)] ) 

OC:OC₁= [уp + 2yq + qx]: [xp - yq].

Тепер ми можемо знайти площі шести малих трикутників. Розглянемо, наприклад, трикутник АОВ₁.  Він має спільну висоту з відомим нам трикутником АОВ, а відношення основ цих трикутників  дорівнює  ВО:ОВ₁= p:q. Отже,  площа трикутника AOB₁

S_AOB1: S_AOB = q:p.

S_AOB1: S(1 - у:(x + y) - q:(p + q))  = q:p.

S_AOB1= S(1 - у:(x + y) - q:(p + q))q:p.

S_AOB1= S(xpq + yq²):[p(p + q)(x + y)].

Так само, 

S_COB1 : S_COB= q /p,

S_COB1 = qyS /(px + yp)

Звідси одразу отримаємо відношення на стороні AС:

AB₁ : B₁C = S_OAB1:S_OCB1

AB₁ : B₁C = S(xpq + yq²):[p(p + q)(x + y)]:[ qyS /(px + yp)]

AB₁ : B₁C = x:y – [qx + yq]:[py + qy]

AB₁ : B₁C = [px - yq]:[py + qy]

Повторюючи ті самі міркування щодо інших чотирьох трикутників, знаходимо відношення на стороні BС:

1)   S_OA1C : S_OAC = y:x,      враховуючи, що  S_OAC = Sq:(p + q),  отримаємо 

S_OA1C = S[yq]:[xp + xq]

S _OA1B : S_OAB = y:x,   враховуючи, що  S_OAВ = S[xp - yq]:[(x + y)(p + q)]  

отримаємо  S_OA1B = S[xyp – qy²]:[x(x + y)(p + q)].  

BA₁ : A₁C = S_OBA1: S_OA1C

S_OBA1: S_OA1C = (S[yq]:[xp + xq])( S[xyp – qy²]:[x(x + y)(p + q)])

Таким чином, отримаємо відношення на стороні ВС:

BA₁ : A₁C = p:q - [yp + yq]:[qx + qy]

BA₁ : A₁C = [xp - yq]:[qx + qy]

2)   S _AOC1: S_OAC = [y(p + q) + q(x + y)]:[xp − yq],

враховуючи, що     

S_OAC = Sq:(p + q),   

oтримаємо S_OAC1= Sq[y(p + q) + q(x + y)]:[(xp − yq)(p+q)],     

S _BOC1 : S_OBC = [y(p + q) + q(x + y)]:[xp − yq], 

враховуючи, що     

  S_OBC = Sу:(x + y),  

отримаємо

S_OBC1 = Sy[y(p + q) + q(x + y)]:[(xp  – yq)(x + y)],   

Таким чином, отримаємо відношення на стороні AB:

AC₁:C₁B = S_AOC1 : S_BOC1

AC₁:C₁B = [q(x + y)]:[(p + q)y]