Компетентнісні задачі. Розгортка куба

1.64 Клітинкові фігури

Означення клітинкової фігури:  Фігурка називається клітинковою, якщо вона складається з квадратиків розміром 1х1, кожен квадрати 1х1 має спільну сторону з неменше ніж одним квадратиком 1х1.

Одноклітинковий квадратик 1х1 вважають клітинковою фігуркою.

Зауваження. Два квадратики 1х1 не будуть клітинковими фігурками, якщо вони мають тільки одну спільну вершину.

Одноклітинкова та двоклітинкова фігурки це відповідно квадратик 1х1 та прямокутник 1х2.

Триклітинкових  фігурок всього є двох видів. Це фігурки під номерами 3 та 4.                                                             

	3				4			1		2
	5
					6				7
	8			9

Дослідити види 4-клітинкові та 5-клітинкові фігурок. 

Чотириклітинкових фігурок є п’ять видів. Це фігурки під номерами 5, 6, 7, 8, 9.

П’ятиклітинкових фігурок всього є 12 видів.

10						11					12			16
13			14					15
												20
17				18						19
							16
		21

Завдання

1. Чи можна розрізати клітинковий квадрат 5х5 на різні 5 клітинкові фігурки?

Відповідь: так.

2. Яку найбільшу кількість клітинкових фігурок можна помістити в квадрат 5х5?

Відповідь: вісім.

3. Яку найбільшу кількість клітинкових фігурок можна помістити в квадрат 4х4?

Відповідь: п’ять.

4. Чи можна розрізати клітинковий квадрат 4х4 на: а) усі різні; б) рівні 4-клітинкові фігурки?

Відповідь: а) ні, бо усі різні;б)так, для двох видів.

6. Яку найбільшу кількість 5-клітинкових фігурок можна помістити в квадрат 4х4?

Відповідь: три.

7. Чи можна розрізати клітинковий квадрат 100х100 на: а) Т-подібні 4-клітинкові фігурки?

Відповідь: так.

8. Складіть таблицю 6-клітинкових фігурок.. Скільки видів таких фігурок?

9. Розмістіть найбільшу кількість 5-клітинкових кутиків у квадраті 5х5?

Відповідь: чотири.

10. Чи можна розрізати клітинковий квадрат 4х4 на: а) 5 різних клітинкових фігурок б) 6 різних клітинкових фігурок?

Відповідь: а)так; б) ні.

1.65 РОЗГОРТКА КУБА

Означення. Розгорткою куба називається шестиклітинкова  плоска фігурка, в результаті згинання якої по лініях клітинок можна отримати всю поверхню куба.

Яким чином розв’язувати завдання: «Скількома способами можна розрізати куб, зроблений з картону, по ребрах, щоб утворилися шматки картону можна було розташувати в площині? «Мовою геометрії - як багато у куба реберних розгорток? Виявляється, у куба існує одинадцять різних реберних розгорток. Подумайте над обґрунтуванням, чому не більше, а далі ми всі їх побачимо.

 Цікаво, що паркет у вашій кімнаті можна зробити з дощичок у вигляді будь-якої з реберних розгорток куба. Щоб замощення площині було паркетом, необхідно, щоб кожна точка площини накривалася плиточка паркету і не було перекривання, тобто кожна точка була накрита рівно однією плиткою.

 Доводити те, що з чергової розгортки куба буде паркет, можна завжди однаково. Спочатку з плиточок розглянутого виду зробимо нескінченну (по одному напрямку) смугу (іноді з рівними, а частіше - з нерівними краями). Поруч з отриманою смугою можна покласти таку ж, потім ще одну і так, послідовно, замостити всю площину.

Варіанти розгорток куба.

Основна властивість розгортки куба.

Будь-яка розгортка куба може бути накреслена на клітковому папері мінімальним розміром прямокутника 3х4, якщо одна клітинка дорівнює площі грані куба.

Якщо розгортку куба не можна перевертати на іншу сторону,

 то кількість різних розгорток куба дорівнює 19.

	2				1			3	3			4	4	4			5	5
2	2	2		1	1				3	3			4			5	5
	2				1	1			3				4				5
	2				1				3				4				5
	6			7	7				8				9	9		10	10
6	6				7				8	8			9				10
	6	6			7			8	8			9	9				10
	6				7	7			8				9				10	10
11						12		13				14					15
11	11			12	12	12		13	13	13		14	14				15	15
	11				12				13				14	14		15	15
	11	11			12				13				14			15
		16	16		17					18				19
	16	16			17				18	18				19
16	16				17	17		18	18				19	19
						17		18					19
						17							19

Якщо розгортку можна перевертати на іншу сторону, то кількість різних розгорток куба дорівнює 11.

	2				1			3	3			4	4	4		11
2	2	2		1	1				3	3			4			11	11
	2				1				3				4				11
	2				1	1			3				4				11	11
	6			7	7			14						12
6	6				7			14	14			12	12	12
	6	6			7				14	14			12
	6				7	7			14				12
		16	16		17
	16	16			17
16	16				17	17
						17
						17

Завдання

1)    Знайти такі види розгортки куба,  якими можна закласти повністю площину?

2)    Знайти розгортки куба, які володіють симетрією.

3)    Створити композицію із різних розгорток куба, яка володіє декількома симетріями.