Компетентнісні задачі з симетрії фігур

1. Розфарбування куба

Композиція може викликати у глядача відчуття більшої або меншої динамічності, хоча всі зображення та їх елементи є нерухомими (статичними). Наприклад, довгий(5х8) і вузький прямокутник(3х8) з орнаментом здається динамічнішим, ніж квадрат. Динамічнішими видаються також предмети, що мають гострокінцеві та гострокутні форми. Динамічність композиції може ґрунтуватися на поєднанні симетрії та асиметрії. У сюжетній композиції – це рухливі, динамічні, зображення.
Скульптору Івану потрібно знайти кількість способів розфарбування граней постаменту(куба) у різну кількість кольорів. Допоможіть йому створити куб

з кольоровими гранями.

Завдання.
1) Скільки існує способів розфарбування граней куба для 2 фарб? (8 способів).

2) Скільки існує способів розфарбування граней куба для 3 фарб?(30 способів).

3) Скільки існує способів розфарбування граней куба для 4 фарб?(68 способів).

4) Скільки існує способів розфарбування граней куба для 5 фарб?(75 способів).

5) Скільки існує способів розфарбування граней куба для 6 фарб?(30 способів).

6) Скільки існує способів розфарбування граней куба для 7 фарб?(0 способів).

7) Скільки існує способів розфарбування вершин куба для 2 фарб? (21 спосіб).

8) Скільки існує способів розфарбування вершин куба для 3 фарб? (267 сп.).

9) Скільки існує способів розфарбування вершин куба для 4 фарб? (1718 сп.).

10) Скільки існує способів розфарбування вершин куба для 5 фарб? (5250 сп.).

11) Скільки існує способів розфарбування вершин куба для 6 фарб? (7980 сп.).

12) Скільки існує способів розфарбування вершин куба для 6 фарб? (5880 сп.).

13) Скільки існує способів розфарбування вершин куба для 6 фарб? (1680 сп.).

2. Фігури на кубі

Конструктивні елементи виробу елементів на кубі або композиція орнаменту на кубі можуть бути також по-різному розміщені відносно певної точки, лінії. Найпоширенішими розміщеннями є симетрія та асиметрія.

Для облаштування кубічного інтер’єру в художньому музеї дизайнеру необхідно знати усі типи фігур та їх симетрії на кубі. Допоможіть дизайнеру в знаходженні правильних відповідей на завдання.

Завддання

1) Яке число усіх відрізків із кінцями у вершинах куба? (28)

2) Яке число усіх відрізків різною довжини із кінцями у вершинах куба?(3)

3) Яке число усіх трикутників з вершинами у вершинах куба?(56)

4) Яке число різних видів трикутників з вершинами у вершинах куба?(3)

5) Яке число усіх просторових 4-кутників з вершинами у вершинах куба?(70)

6) Яке число різних видів плоских 4-кутників з вершинами у вершинах куба?(2)

7) Яке число усіх 3-кутних пірамід із вершинами у вершинах куба?(44)

8) Яке число різних видів 3-кутних пірамід із вершинами у вершинах куба?(5)

9) Яке число усіх 4-кутних пірамід із вершинами у вершинах куба?(56)

10) Яке число різних видів 4-кутних пірамід із вершинами у вершинах куба?(2)

3. Правильні фігури

У разі спостереження за ідеально розвинутими кристалами чи їхнім зображенням, захоплюються дивовижною закономірністю розташування їхніх граней, що є проявом внутрішньої симетрії у зовнішній формі кристалів.

Для уточнення поняття про цю закономірність користуються допоміжними уявними образами (точками, прямими, площинами), щодо яких правильно повторюються рівні частини фігур. Такі образи назвали елементами симетрії.

Елементами симетрії називають допоміжні геометричні образи (точки, прямі, площини), за допомогою яких виявляється симетрія фігур. До елементів симетрії належать: центр інверсії, осі і площини симетрії.

Для облаштування фасадного інтер’єру в художньому музеї дизайнеру необхідно знати усі властивості правильних фігур та їх симетрії. Допоможіть дизайнеру в знаходженні правильних відповідей на завдання.

Завдання

1) Знайти формули площі правильного 4-кутника, якщо відомі його основні елементи. Знайти у квадрата(правильного 4-кутника) кількість різних видів трикутників, вершини яких співпадають з вершинами квадрата, що дорівнюють один одному. Чи вірно, що це прямокутний рівнобедрений трикутник зі сторонами (а; а; а), де а – довжина сторони квадрата і кутами (45^о; 45^о; 90^о)?

2) Знайти формули площі правильного 6-кутника, якщо відомі його основні елементи. Знайти у правильного 6-кутника кількість різних видів трикутників, вершини яких співпадають з вершинами 6-кутника, дорівнює двом. Чи вірно, що це два рівнобедрені трикутники:

а) зі сторонами (а; а; а), де а – довжина сторони 6-кутника і кутами (60^о; 60^о; 60^о)

б) зі сторонами (а; а; а), де а – довжина сторони 6-кутника та кутами (30^о; 30^о; 120^о).

і прямокутний трикутник зі сторонами (а; а; 2а), де а – довжина сторони 6-кутника і кутами (30^о; 60^о; 90^о)?

3)Знайти формули площі правильного 5-кутника, якщо відомі його основні елементи. Знайти у правильного 5-кутника кількість різних видів трикутників, вершини яких співпадають з вершинами 5-кутника, дорівнює двом. Чи вірно, що це два рівнобедрені трикутники:

1) зі сторонами (а; а; ), де а – довжина сторони п’ятикутника та кутами (36^о; 36^о; 108^о);

2) зі сторонами (а; ; ), де а – довжина сторони п’ятикутника та кутами (36^о; 72^о; 72^о)?

4. Центральна симетрія у просторі

Для облаштування просторового інтер’єру в музеї палеонтології дизайнеру необхідно знати усі типи фігур та їх симетрії у просторі. Допоможіть дизайнеру в знаходженні правильних відповідей на завдання.

Метод сполучення, поєднання, розташування різних предметів, зображень, геометричних фігур називають комбінаторикою. При комбінуванні елементи розміщують за певними правилами – принципами (засобами) композиції (симетрія, повтори, контраст, динаміка).

Пропорційне розміщення частин виробу (орнаменту) відносно його центра називають симетрією. Симетрично розміщені фігури за певних змін свого положення при накладанні однієї частини на іншу суміщаються. Найпростішими та найуживанішими є дзеркальна, поворотна симетрія та симетрія перенесення. Дзеркальна симетрія буває одновісна та двовісна.

У одновісній симетрії композицію а можна відтворити за її половиною, у двовісній композицію а — за четвертиною.

Завдання

1. Скількома центрами симетрій у просторі володіє:

а) відрізок(має один центр симетрій – це точка, що є серединою відрізка);

б) півплощина (немає центру симетрії);

в) двогранний кут (немає центру симетрії);

г) три взаємно перпендикулярні прямі, що перетинаються в одній точці (один центр симетрії – це точка перетину трьох прямих);

д) похилий паралелепіпед (один центр симетрії – це точка, що є серединою діагоналі паралелепіпеда);

е) дві паралельні прямі (має безліч центрів симетрій – це точки, що лежать на середині перпендикулярів до обох паралельних прямих);

є) дві мимобіжні прямі (немає центру симетрії).

ж)куб(має один центр симетрії – це точка, що є серединою діагоналі куба);

з)паралелограм(має один центр симетрії – це точка, що є серединою діагоналі паралелограма);

і) коло(має один центр симетрії – це точка, що є серединою діаметра кола);

ї)пряма(має безліч центрів симетрій – ці точки належать цій прямій)?

к) правильний тетраедр(не має центру симетрії);

л)площина(має безліч центрів симетрій – це точки, що належать цій площині);

м) дві прямі, що перетинаються в одній точці (має один центр симетрії – це спільна точка двох прямих);

н) правильний трикутник(не має центру симетрії);

о)рівносторонній циліндр, осьовий переріз якого квадрат (має один центр симетрії - це точка перетину діагоналей осьового перерізу).

2. Скількома осями симетрій у просторі володіє:

а) відрізок (має безліч осей симетрій – це прямі, що перпендикулярні до середини відрізка і пряма, що містить цей відрізок);

б) півплощина ( має безліч осей симетрій – це прямі, що перпендикулярні до межі півлощини і дві точки цієї прямої належать до даної півплощини);

в) двогранний кут (має безліч осей симетрій – це прямі, що перпендикулярні до ребра двогранного кута і ділять навпіл лінійний кут з вершиною у точці перетину прямої з ребром двогранного кута);

г) три взаємно перпендикулярні прямі, що перетинаються в одній точці (дев’ять осей симетрій – це три дані прямі і ще шість прямих, що проходять через бісектриси кутів між двоми довільними даними прямими);

д) прямий паралелепіпед (три вісі симетрій – це три дані прямі, що проходять через точку перетину діагоналей паралелепіпеда і перпендикулярні до протилежних граней);

е) дві паралельні прямі (має безліч осей симетрій – це прямі, що перпендикулярні до усіх спільних перпендикулярів і проходять через середини перпендикулярів до обох паралельних прямих);

є) дві мимобіжні прямі (має одну вісь симетрії – це пряма, що містить спільний перпендикуляр до двох мимобіжних прямих );

ж)куб ( має тринадцять осей симетрій - шість прямих, що являються діагоналями трьох різних серединних перерізів, тобто квадратів, протилежні вершини яких лежать на серединах протилежних ребер куба(кожна така площина перерізу куба розрізає куб на дві рівні частини), ще три осі проходять через центри протилежних граней куба, і ще чотири осі симетрії куба – це чотири прямі, які містять чотири діагоналі куба);

з)паралелограм(має одну вісь симетрії – це пряма, що перпендикулярна до площини паралелограма в точці перетину діагоналей паралелограма);

і) коло(має безліч осей симетрій – це пряма, що перпендикулярна до площини кола в точці перетину діаметрів цього кола і прямі, що містять діаметри даного кола);

ї)пряма(має безліч осей симетрій – ці точки належать цій прямій)?

к) правильний тетраедр(має три вісі симетрій – це прямі, що проходять через середини протилежних ребер тетраедра, які мимобіжні і взаємно перпендикулярні);

л)площина(має безліч осей симетрій – це прямі, що належать цій площині, а також прямі, що перпендикулярні до площини);

м) дві прямі, що перетинаються в одній точці (має три вісі симетрій – це спільний перпендикуляр до двох прямих і дві прямі, що належать двом бісектрисам кутів між даними прямими);

н) правильний трикутник(не має центральної симетрії, має три вісі симетрії – це прямі, що проходять через вершину та середину протилежної сторони трикутника);

о)рівносторонній циліндр, осьовий переріз якого квадрат (має безліч осей симетрії - це прямі, що перпендикулярні до осі циліндра і проходять через середину осі циліндра)?

5. Симетрія відносно площини у просторі

Поняття композиція однаковою мірою стосується різних видів творчості — живопису, скульптури, архітектури, декоративно-прикладного мистецтва, музики тощо.

Композиція – це поєднання окремих елементів в єдине художнє ціле, що в конкретній зоровій формі виражає задум автора.

Елементами симетрії називають допоміжні геометричні образи (точки, прямі, площини), за допомогою яких виявляється симетрія фігур. До елементів симетрії належать: центр інверсії, осі і площини симетрії.

Для облаштування історичного інтер’єру в музеї народознавства дизайнеру необхідно знати усі типи фігур та їх симетрії у просторі. Допоможіть дизайнеру в знаходженні правильних відповідей на завдання.

Завдання

1. Скількома площинами симетрій у просторі володіє:

а) відрізок (має безліч площин симетрій – це площина, що перпендикулярни до середини відрізка та площини, що містять повністю в собі усі точки відрізка);

б) півплощина ( має безліч площин симетрій – це площини, що перпендикулярні до межі півплощини і площина три точки якої належать до даної півплощини);

в) двогранний кут (має безліч площин симетрій – це площини, що перпендикулярні до ребра двогранного кута і бісектральна площина двогранного кута, яка ділить навпіл лінійний кут двогранного кута);

г) три взаємно перпендикулярні прямі, що перетинаються в одній точці (мають дев’ять осей симетрій – це три дані площини, що містять пару даних прямих і ще шість бісектральних площин, що проходять через бісектриси кутів між двоми довільними даними прямими і повністю містять в собі тільки одну з даних прямих);

д) прямий паралелепіпед (має три площини симетрій – це три площини, що проходять через точку перетину діагоналей паралелепіпеда і перпендикулярні до протилежних граней);

е) дві паралельні прямі (мають безліч площин симетрій – це усі площини, що перпендикулярні до двох паралельних прямих, і площина, що паралельна двом даним прямим і перпендикулярна до спільних перпендикулярів іі проходить через середини перпендикулярів до двох паралельних прямих);

є) дві мимобіжні прямі , кут між якими прямий (маютьдві площини симетрій – це дві площини, що містять спільний перпендикуляр і повністю містять тільки одну з двох мимобіжних прямих);

ж)куб ( має дев’ять площин симетрій - шість площин(діагональні площини симетрії), що являються діагональними перерізами куба і ще три площини(координатні площини симетрії), які проходять через чотири центри протилежних граней куба);

з)паралелограм (має одну площину симетрії – це площина, що містить паралелограм);

і) коло(має безліч площин симетрій – це площини, що перпендикулярні до площини кола і проходять в точці перетину діаметрів цього кола і ще площина, що повність містить в собі дане коло);

ї)пряма(має безліч площин симетрій – це площини, що перетинають дану пряму під прямим кутом);

к) правильний тетраедр(має три площини симетрій – це площини, кожна з яких повністю містить тільки одну висоту правильного трикутника, що лежить в основі тетраедра і кожна з яких при цьому перпендикулярна до площини основи тетраедра);

л)площина(має безліч площин симетрій – це площини, що перпендикулярні до даної площини і сама ця площина самосиметрична);

м) дві прямі, що перетинаються в одній точці (мають три площини симетрій – це дві площини, що повністю містять спільний перпендикуляр до двох прямихв точці їх перетину, і повністю містять одну із бісектрис кутів між даними прямими, а також площина, що проходить через дві дані прямі);

н) правильний трикутник(має чотири площини симетрій – це три площини, що повністю містять спільний перпендикуляр до двох висот даного трикутника, який проведений в точці їх перетину, і повністю містять одну із висот даного трикутника, а також площина, що проходить через дві дані прямі);

о)рівносторонній циліндр, осьовий переріз якого квадрат (має безліч площин симетрії - це площини, що перпендикулярні до основ циліндра і проходять через вісь циліндра, а також площина, що перпендикулярна осі і проходить через середину вісі циліндра).

6. Самосиметричні фігури

Для облаштування кімнатного інтер’єру в музеї революції дизайнеру необхідно знати усі типи фігур та їх симетрії у просторі. Допоможіть дизайнеру в знаходженні правильних відповідей на завдання.

Завдання

1. Яка фігура симетрична сама собі?(точка, пряма, площина)

2. Скільки спільних центрів симетрій може мати:

А) пряма і площина, що перетинаються(має один центр симетрії, це точка їх перетину)

Б)пряма, що належить площині(має безліч центрів симетрій)

В)пряма і площина, що не перетинаються(не має центру симетрії)

3. Чи може обмежене тіло (фігура) мати тільки два центри симетрії? (не існує фігури, яка має тільки два центра симетрії)

4. Чи можна вважати, що будь-які два відрізки центрально-симетричні?(не завжди два відрізки мають центр симетрії)

5. Якій умові повинні задовольняти два промені, якщо один з них можна отримати із другого за допомогою центральної симетрії?(дані промені перетинаються)

6. При якій умові умові обмежена кількість паралельних прямих матиме усі види симетрій?(паралельні прямі розташовані в одній площині на однаковій відстані одна від одної).

7. Чи може бути центральною симетрією:

А)композиція двох центральних симетрій;(ні)

Б)композиція двох паралельних переносів;(ні)