Компетентнісні задачі з геометрії
1.35 Дослідження кутів чотирикутника
Миколка
вирішив за допомогою циркуля і лінійки дослідити властивості кутів
чотирикутника. Він накреслив довільний чотирикутник, і розпочав міркувати.
Завдання
1)В
чотирикутнику проведені діагоналі.
Скільки рівних відрізків може опинитися на малюнку?
2)В
чотирикутнику проведені діагоналі. Яке найбільше число прямих кутів може
опинитися на малюнку?
3)Чи
вірне твердження, що серед кутів випуклого чотирикутника завжди знайдеться хоча
б один прямий або тупий кут?
4)
Як побудувати чотирикутник ABCD по кутам
A і B, сторонам АВ, AD і сумі двох
других сторін.
5)В
чотирикутнику ABCD кут С – прямий. Як побудувати цей чотирикутник по довжинам сторін AB, AD, CD і величині кута A.
1.36 Дослідження властивостей паралелограма
Дмитро вирішив за допомогою циркуля і лінійки
дослідити властивості кутів і сторін паралелограма. Він накреслив довільний
паралелограм, і розпочав міркувати.
Завдання
1)
Як створити та пояснити ознаки
паралелограма, що відмінні від переглянутих в шкільному посібнику з геометрії?
2)
Точка М знаходиться в середині кута, вершини
якого не доступна (тобто лежить за межами доступної частини площини). Як
побудувати промінь з початком М,
спрямований на вершину кута?
3)
Пластинку у виді паралелограма розрізали на 3 частини, кожна з яких являється
рівнобедреним трикутником. Як визначити градусні міри кутів паралелограма?
4)
Точка М знаходиться в середині даного кута. Як побудувати відрізок, у якому кінці лежать на сторонах даного
кута, а середина - в точці М.
5)
Точки А і С знаходяться в середині даного кута. Як побудувати паралелограм ABCD, у якого вершини В і D знаходяться
на сторонах даного кута.
ABCD – паралелограм. За
його межами побудовані квадрати ABPE і BCKM. Як довести, що відрізки ED і DK взаємно перпендикулярні?
6)
Як побудувати паралелограм по положенню вершин А і В та відстанню від
даної точки М до вершини С і D?
7) Як
побудувати паралелограм ABCD, якщо
дана пряма BD і
основи висот, проведених з вершини В.
8)
Дві висоти паралелограма проведені з вершини гострого кута і дорівнюють 4 та
10, а кут між ними 120о. Як знайти сторони паралелограма?
9)
Більша діагональ ромба ділить його висоту, проведену з вершини тупого кута на відрізки 75 см і 21 см. Як знайти площу ромба?
10)Кут
між висотами паралелограма, проведеними з вершини гострого кута, втричі
більший за цей кут? Як знайти кути паралелограма?
11)
Діагоналі прямокутника поділяють його на
чотири трикутники, периметри яких дорівнюють 9/14 та 4/7 периметра
прямокутника. Як Знайти відношення
довжин сторін прямокутника?
12)Сума
периметрів чотирьох трикутників, на які
квадрат розбивається діагоналями, більша за периметр квадрата на 48 см. Як
знайти діагональ квадрата?
1.37 Дослідження
видів чотирикутників
Максим досліджує
властивості чотирикутників. Для цього він вибирає довільні чотири точки і
з’єднує їх відрізками. Допоможіть Максиму правильно встановити умови, для того
щоб визначити вид чотирикутника.
Завдання.
1)
Якщо
в чотирикутнику всі сторони рівні, то це …
2)
Якщо
в чотирикутнику діагоналі перпендикулярні і точкою перетину діляться навпіл, то
це …
3)
Якщо
в чотирикутнику три кути прямі, то це …
4)
Якщо
в чотирикутнику діагоналі рівні і точкою
перетину діляться навпіл, то це …
5)
Якщо
в чотирикутнику дві протилежні сторони рівні і паралельні, то це …
6)
Якщо
в чотирикутнику дві протилежні сторони попарно рівні, то це …
7)
Якщо
в чотирикутнику дві діагоналі точкою перетину діляться навпіл, то це …
8)
Якщо
в чотирикутнику кожна діагональ ділить чотирикутник на два рівні трикутники, то
це …
9)
Якщо
в чотирикутника лише дві паралельні сторони, то це …
10)
Якщо
в чотирикутника сума протилежних сторін дорівнює сумі двох інших його сторін,
то це …
11)
Якщо
в чотирикутника сума протилежних кутів дорівнює 180о, то це …
12)
Якщо
в чотирикутника бісектриси будь-яких сусідніх кутів перпендикулярні, то це …
1.38 Дослідження
властивостей паралелограмів
Данилко
досліджує деякі корисні властивості паралелограмів. Для цього він вибирає
довільні пари паралельних відрізків точки і з’єднує їх. Допоможіть Данилку
правильно встановити умови, для того щоб сформулювати властивість паралелограма.
Завдання.
1)У
паралелограма бісектриси будь-яких сусідніх кутів ……
2)У
паралелограма відрізок, який з’єднує протилежні сторони і проходить через точку
перетину діагоналей, ділиться цією точкою на частини, які …
3)У
паралелограма кут між висотами, що проведені з вершини тупого кута, дорівнює …
4)У
паралелограма кут між висотами, що проведені з вершини гострого кута, дорівнює …
5)У
паралелограма висота, що проведені з вершини тупого кута, відрізає від
паралелограма …
6)
У паралелограма дві висоти, що проведені з вершини тупого кута, відрізають від
паралелограма два трикутники, у яких …
7)
У паралелограма добуток діагоналей дорівнює сумі добутків його протилежних
сторін, тоді діагоналі паралелограма …
8)
У паралелограма сума протилежних кутів дорівнює 180о, то це …
9)
У паралелограма сума протилежних сторін дорівнює сумі двох інших його сторін,
тоді його діагоналі …
10)
У паралелограма сума сусідніх кутів дорівнює …
11)
У паралелограма сума усіх кутів дорівнює …
12)
У паралелограма протилежні кути …
1.39 Дослідження
властивостей прямокутників
Михайло
досліджує деякі корисні властивості прямокутників. Для цього він вибирає
довільні пари паралельних відрізків точки і з’єднує їх. Допоможіть Михайлу
правильно встановити умови, для того щоб сформулювати властивість прямокутника.
Завдання.
1)Якщо
в паралелограма один кут прямий, діагоналі рівні, діагоналі утворюють рівні
кути з однією стороною, то це …
2)
Якщо в паралелограма один кут прямий, діагоналі рівні, сусідні кути рівні кути,
то це …
3)
Якщо в паралелограма сусідні сторони рівні, діагоналі перпендикулярні,
діагоналі утворюють рівні кути з однією стороною, то це …
4)
Якщо в паралелограма один кут прямий, в нього можна вписати коло, то це …
5)Якщо
навколо паралелограма можна описати коло, то це …
6)
Якщо в паралелограма квадрат кожної діагоналі рівний сумі квадратів двох сторін,
то це …
7)Якщо
діагоналі паралелограма розрізають його на нерівні між собою рівнобедрені
трикутники, то це …
8)
Якщо діагоналі паралелограма розрізають його на рівні між собою рівнобедрені
трикутники, то це …
9)
Якщо діагоналі прямокутника являються
бісектрисами кутів, то це …
10)
Якщо в прямокутника квадрат кожної сторони дорівнює сумі квадратів половини діагоналей,
то це …
11)Якщо
середні лінії паралелограма перпендикулярні до сторін, то це …
12)Якщо
навколо паралелограма можна описати коло, то це …
1.24 Найбільша площа
фазенди
У
господаря є будівельний матеріал для побудови паркану на 200 метрів. Господарю
необхідно побудувати огорожу прямокутної ділянки.
Завдання.
1)
Які
розміри прямокутної ділянки треба взяти, щоб обмежена парканом ділянка
мала найбільшу площу?
2)
Які
розміри трикутної форми ділянки треба взяти, щоб обмежена парканом ділянка
мала найбільшу площу?
3)
Які
розміри довільної форми ділянки треба взяти, щоб обмежена парканом ділянка
мала найбільшу площу?
1.25
Поділ
клумби на фігури
Тимко
займається ландшафтним дизайном.
Йому треба поділити трикутну
клумбу на трапеції для розташування
різних об’єктів на клумбі.
Завдання
1)Трикутну
клумбу розділити на три трапеції, загальною вершиною яких є точка перетину
медіан трикутника.
2)
Порівняйте площі утворених трапецій.
3)
Трикутну клумбу розділити на рівнобедрені трикутники. Яка найменша кількість
утворених рівнобедрених трикутників?
4)
Трикутну клумбу розділити на прямокутні трикутники. Яка найменша кількість
утворених прямокутних трикутників?
1.26 Кут
між діагоналями трапеції
Тимко
займається ландшафтним дизайном.
Клумба має форму рівнобічної трапеції. Тимко виміряв площа квадрату, побудованого
на діагоналі рівнобічної трапеції, і
вияснив, що вона у 4 рази більша площі трапеції.
Завдання
1)
Чи вірно, що навколо цієї трапеції можна
описати коло?
2)
Чи вірно, що діагональ трапеції – це найбільший відрізок із усіх відрізків, кінці яких лежать на
сторонах трапеції?
3)
Чи вірно, якщо бічні сторони рівнобічної
трапеції дорівнюють середній лінії трапеції, то в цю трапецію можна вписати
коло?
4)
Знайдіть кут між діагоналями даної рівнобічної трапеції.
1.27
Властивості
трапеції
Тимко
займається ландшафтним дизайном.
Клумба має форму рівнобічної трапеції.
Тимко знайшов, що сума площ квадратів побудованих на діагоналях
трапеції, у 4 рази більша площі трапеції.
Завдання
1)
Доведіть що діагоналі цієї трапеції взаємно перпендикулярні.
2)
Чи вірно, що середня лінія трапеції дорівнює висоті трапеції.
3)
Чи можна цю трапецію поділити парну кількість
рівнобічних трапецій?
4)
Які кути між діагоналями і основами трапецій?
5)
Діагоналі розрізають трапецію на чотири трикутники, які із цих трикутників
мають рівні площі?
1.28 Площа клумби
Тимко
займається ландшафтним дизайном.
Клумба має форму довільної трапеції.
Основи трапеції BC і AD, діагоналі перетинаються в точці О. Площі
трикутників АВО і ВСО дорівнюють 50 і 20
см2 відповідно.
Завдання
1)
Знайдіть
площу трапеції.
2)
Знайдіть
площу усіх трикутників, які утворюються розрізанням трапеції по лініям двох
діагоналей.
1.29
Правильний трикутник і трапеція
Тимко
займається ландшафтним дизайном. Його клумба має форму рівнобічної трапеції. Кут між діагоналями рівнобічної трапеції дор. 60о
Завдання
1)
Скільки
таких трапецій може мати Тимко?
2)
Як
розділити дану трапецію на якомога більше число частин, із яких можна скласти
рівносторонній трикутник?
1.30
Прямокутні трикутники у трапеції
Тимко
займається ландшафтним дизайном. Його клумба має форму рівнобічної трапеції. Діагоналі рівнобічної трапеції взаємно
перпендикулярні. Продовження бокових сторін АВ і СD
перетинаються у точці М під кутом в 30о.
Завдання
1)
Знаючи що площа трикутника ВМС дорівнює Q,
знайдіть площу трапеції.
2) Як розрізати дану трапецію на прямокутні
трикутники?
1.31 Півкруг і трапеція
Тимко
займається ландшафтним дизайном. Його клумба має форму півкруга.
У
півкруг з радіусом 2 см вписана трапеція, периметр якої дорівнює 10см.
Завдання
1)
Який вид трапеції можна вписати в півкруг?
2)
Знайдіть площу трапеції.
1.7 Калькулятор для обчислення площ
Уявіть
себе землеміром. Вам потрібно вимірювати
площі довільних чотирикутних ділянок, які
відведені під забудівлю, у вас є шнур з метровими поділками і кутомір, для
вимірювання кутів між напрямами.
Завдання 1.
На
Аркуші 1 в MS Excel за зразком самостійно
створити калькулятор для обчислення
площі чотирикутника за двома відомими діагоналями і кутом між
ними. Знайти площі чотирикутників для значень:
1)d1=10,
d2=15, a=90o;
2)
d1=10, d2=15, a=80o;
3)
d1=10, d2=15, a=70o;
4)
d1=10, d2=15, a=60o;
5)
d1=10, d2=15, a=50o;
6)
d1=10, d2=15, a=40o;
7)
d1=10, d2=15, a=30o;
8)
d1=10, d2=15, a=20o;
9)
d1=10, d2=15, a=20o.
Дайте відповіді на
запитання та виконайте графіки для площ чотирикутників :
1)Чи вірно, що площа квадрата S(d ) =0,5d
2 лінійно залежить від довжини
діагоналі d квадрата, якщо 0< d
<12? (Чому не вірно?) Чи вірно, що квадратична функція S(d ) =0,5d 2 це нелінійна функція? Побудуйте на
Аркуші 1 в MS Excel графік параболи S(d ) =0,5d
2, якщо 0< d <12, для цього у калькуляторі площі
чотирикутника змінюйте тільки значення d =d2 = d1
якщо константа: a=90о.
2) Чи вірно, що площа ромба S(d1) =0,5d2d1 лінійно залежить від довжини діагоналі d1 ромба, якщо 1< d1<9? (Чому
вірно?) Побудуйте на Аркуші 2 в MS
Excel лінійний графік S(d1) =kd1, якщо k=0,5d2. Для цього у калькуляторі площі
чотирикутника змінюйте тільки числові
значення d1,
якщо 0< d1<9 , при цьому числове значення d2 – це постійна величина(тобто число
не змінюється, наприклад d2 =1- константа).
3) Чи вірно, що площа прямокутника
S(а) =аb лінійно залежить від довжини cторони а прямокутника, якщо 1< а<15? (Чому вірно?) Побудуйте
на Аркуші 3 в MS Excel лінійний графік S(а) =kа, якщо постійна величина k=b.
4) Чи вірно, що площа
чотирикутника S(d1) =0,5d2d1sina лінійно залежить від довжини діагоналі
чотирикутника, якщо 1< d1<9? (Чому
вірно?) Побудуйте на Аркуші 4 в MS
Excel лінійний графік
S(d1) =kd1, якщо k=0,5d2sina - постійна
величина. Для цього у калькуляторі площі
чотирикутника змінюйте тільки значення d1, якщо
0< d1<9.
5) Чи вірно, що площа
чотирикутника S(d2) =0,5d2d1sina лінійно залежить від довжини діагоналі d2 чотирикутника,
якщо 1< d2<15? (Чому вірно?) Побудуйте на Аркуші 5 в MS Excel лінійний
графік S(d2) =kd2, якщо k=0,5d1sina. Для цього у калькуляторі площі
чотирикутника змінюйте тільки значення d2 , якщо 0< d2<15.
6)Чи вірно, що площа
чотирикутника S(a) =0,5d2d1sina лінійно
залежить від кута a між діагоналями чотирикутника, якщо 0<a<90o?
(Чому невірно?)
Чи вірно, що синус кута – це нелінійна функція?
Побудуйте на Аркуші 6 в MS
Excel нелінійний графік S(d1) =k
sina, якщо k=0,5d2d1 – постійна величина, для
цього у калькуляторі площі чотирикутника змінюйте
тільки значення a, якщо 0<a<90o.
7) Площі
чотирикутних ділянок можна розбивати на дві площі трикутних ділянок. Цей спосіб
називають триангуляцією. На
Аркуші 7 в
MS Excel за зразком самостійно
створити калькулятор для обчислення
площі трикутника за трьома відомими сторонами. Знайти площу трикутника для значень: 1)а=17,
b=15, c=8; 2)а=7, b=24, c=25; 3)а=9, b=40, c=41; 4)а=17, b=15, c=8; 5)а=5, b=12, c=13; 6)а=11, b=60, c=61; 7)а=20, b=21, c=29;
8) Перед вами
формули, за допомогою яких можна знайти
площу трикутника:
SD=0,5aha=0,5bhb=0,5chc=(p(p-a)(p-b)(p-b))0,5
= 0,25abcR-1= rp =0,5absing = 0,5a2sinbsing(sina)-1
Створити
калькулятори для цих формул в MS Excel .
9)Вказати такі формули, у яких площа трикутника лінійно залежить від довжини однієї сторони
трикутника.
10)Знайти такі формули, у
яких площа трикутника квадратично
залежить від довжини однієї сторони трикутника.
11)Знайти такі формули, у
яких площа трикутника нелінійно залежить
від величини одного кута трикутника.
12) Дослідити у якій
залежності перебувають площа трикутника і радіус описаного кола навколо цього
трикутника у формулі SD=0,25abcR-1? 
Коментарі
Дописати коментар