Банк задач на паралелограмах

Паралелограм. Властивості паралелограма

1.       У чотирикутнику АВСD сторони ВС і АD паралельні. Чи правильно, що це паралелограм?

2.       У чотирикутника три кути гострі.  Чи правильно, що це паралелограм?

3.       У чотирикутника три кути прямі.  Чи правильно, що це паралелограм?

4.       У чотирикутника три кути різної величини.  Чи правильно, що це паралелограм?

5.       У чотирикутника дві діагоналі в точці перетину  не діляться навпіл.  Чи правильно, що це паралелограм?

6.       Знайдіть кути паралелограма, якщо: 1) один з його кутів дорівнює 36°; 2)сума двох його кутів дорівнює 144°; 3)один з його кутів на 46° більший за другий; 4)один з його кутів у 3 рази менший від другого; 5) два кути паралелограма відносяться як 5:7.

7.       Дві висоти, проведені з вершини тупого кута паралелограма, утворюють кут 48°. Знайдіть, кути, які утворюють діагоналі паралелограма з його сторонами.
Знайдіть кути паралелограма АВСD, якщо дві бісектриси двох сусідніх кутів паралелограма перетинаються в точці, що належить стороні паралелограма.

8.       Чи може сума трьох кутів паралелограма дорівнювати сумі кутів деякого трикутника? Відпо­відь обґрунтуйте.

9.       Периметр   паралелограма   дорівнює   56 см.   Знайдіть   сторони паралелограма, якщо одна і них на 6 см більша за другу.

10.  Периметр паралелограма дорівнює 126 см. Знайдіть його сторони, якщо дві з них відносяться як 4 : 5.  

11.  Доведіть, що бісектриси кутів паралелограма, що прилягають до однієї сторони, перетинаються під прямим кутом.

12.  Доведіть, що бісектриса кута паралелограма відрізає від паралелограма трикутник з двома рівними кутами.

13.  Відомо, що бісектриса кута паралелограма відрізає від паралелограма прямокутний рівнобедрений трикутник. Знайти кути паралелограма.

14.  Відомо, що бісектриса кута паралелограма відрізає від паралелограма рівнобедрений трикутник з кутом, що дорівнює третині розгорнутого кута. Знайти кути паралелограма.

15.  У паралелограмі АВСD АВ = 7 см, AD = 12см. Бісектриса кута А перетинає сторону ВС у точці Е. Знайдіть відрізки ВЕ і ЕС.

16.  Бісектриса тупого кута паралелограма ділить його сторону у відношенні 1:3, рахуючи від вершини тупого кута. Периметр паралелограма дорівнює 84 см. Знайдіть його сторони.

17.  У паралелограмі АВСD кут А дорівнює 60°. Висота ВЕ поділяє сторону АD на дві рівні частини. Знайдіть довжину діагоналі AD, якщо периметр паралелограма дорівнює 48 см.

18.  У паралелограмі АВСD з вершини тупого кута В проведено висоти ВМ і ВК. Доведіть, що кути МВК і ВАО рівні.

19.  Два кути паралелограма відносяться як 1:5. Знайдіть кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини: 1) тупого кута; 2) гострого кута.

20.  Через точку О перетину діагоналей паралелограма АВСD проведено пряму, яка перетинає сторони АВ і СD у точках Е і F відповідно. Доведіть, що ОЕ = ОЕ.

21.  Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 6 см. На основі трикутника взято довільну точку і через неї проведено дві прямі, паралельні бічним сторонам трикутника. Знайдіть пери­метр отриманого паралелограма.

22.  Побудуйте паралелограм: за двома сторонами і кутом між ними; за стороною і двома діагоналями.

23.  Дано відрізок ВЕ і точку М, яка не лежить на прямій ВЕ. Побу­дуйте паралелограм так, щоб однією з його сторін був відрі­зок ОЕ, а точка М була точкою перетину його діагоналей.

24.  Через точку в середині кута проведіть пряму так, щоб відрізок цієї прямої, який лежить між сторонами кута, ділився цією точкою навпіл.

25.  Побудуйте трикутник за двома сторонами і медіаною, проведе­ною до третьої сторони.

26.  На діагоналі ВВ паралелограма АВСВ відкладено рівні відрізки ВF і ВЕ. Доведіть, що чотирикутник АFСЕ — парале­лограм.

27.  У паралелограмі АВСD бісектриси кутів В і D перетинають діагональ АС у точках К і Р відповідно. Доведіть, що чотирикутник ВРDК — паралелограм.

Прямокутник

28.  Відомо, що жоден з кутів паралелограма не є гострим. Що можна сказати про вид цього паралелограма?

29.  Відомо, що усі кути паралелограма рівні між собою. Що можна сказати про вид цього паралелограма?

30.  У прямокутнику АВСD  проведено діагоналі. Знайдіть у прямокутнику два кути, один з яких вдвічі більший від іншого. Скільки пар таких кутів?

31.  У прямокутнику діагональ утворює з більшою стороною кут, що дорівнює 30°. Знайдіть кут між діагоналями прямокутника, який лежить проти його меншої сторони.

32.  Знайдіть кут між меншою стороною і діагоналлю прямокутника, якщо він на 30° менший від кута між діагоналями, який лежить проти меншої сторони.

33.  Діагоналі паралелограма утворюють рівні        кути з однією з його сторін. Доведіть, що

34.  цей паралелограм — прямокутник.

35.  У прямокутнику АВСD бісектриса кута А перетинає сторону СD у точці Е-— середині СD. Доведіть, що промінь ВЕ — бісектриса кута В.

36.  Перпендикуляри, проведені з точки перетину діагоналей прямо­кутника до двох його сусідніх сторін, дорівнюють 5 см і 7 см. Визначте периметр прямокутника.

37.  Відстань від точки перетину діагоналей прямокутника до його більшої сторони на 5 см менша, ніж до меншої сторони. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 44 см.

38.  У прямокутнику АВСD точка К — середина сторони АВ, кут СКD дорівнює 90°. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 36 см

39.  Доведіть, що в прямокутному трикутнику медіана, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи. Скористайтеся прямокутником.

40.  Гіпотенуза АВ прямокутного трикутника АВС дорівнює 8 см. Через точку К, яка є серединою гіпотенузи, проведено прямі, які паралельні катетам трикутника і перетинають їх у точках В і Е. Визначте довжину відрізка ВЕ.

41.  У рівнобедрений прямокутний трикутник, катет якого дорівнює 12 см, вписано прямокутник, який має з трикутником спільний прямий кут. Знайдіть периметр прямокутника.

42.  Перпендикуляр, опущений з вершини прямокутника на його діа­гональ, поділяє її у відношенні 3:1. Знайдіть діагоналі прямо­кутника, якщо точка їх перетину віддалена від більшої сторони на 6 см.

Ромб

43.  Знайти кут між двома висота ромба, що виходять з тупого кута, якщо бісектриса кута ромба відрізає рівносторонній трикутник від ромба.

44.  Знайти кут між двома висота ромба, що виходять з тупого кута, якщо бісектриса кута ромба відрізає рівнобедрений трикутник від ромба з н кутом 72^о.

45.  У паралелограмі АВСD діагональ АС поділяє кут А навпіл. Доведіть, що чотирикутник АВСD — ромб.

46.  АВСD — ромб, різницею кутів 36 ^о. Знайдіть кут між висотою і діагоналлю ромба, якщо висота проходить через точку перетину діагоналей.

47.  АВСD — ромб. Діагональ ромба дорівнює стороні ромба. Знайдіть кут між діагоналлю і стороною ромба.

48.  АВСD — ромб. Діагональ ромба дорівнює стороні ромба. Знайдіть кут між між двома висотами  ромба.

49.  Знайдіть кути ромба, якщо його сторона утворює з діагоналями кути, різниця яких дорівнює:  а)45^о;  б)20°.

50.  Знайдіть кути ромба, якщо його сторона утворює з діагоналями кути, які відносяться як 2:7.

51.  Відрізки ВР і DЕ — висоти ромба АВСD. Доведіть, що ВF=DE.

52.  Висоти, проведені з вершини тупого кута ромба, утворюють кут 48°. Знайдіть, кути, які утворюють діагоналі ромба з його сторонами.  •

53.  У ромбі АВСО точки Е і Р— середини сторін ВС і СО відповідно. Доведіть, що АЕ-АР.

54.  На сторонах АВ і АО ромба АВСО відкладено рівні відрізки АЕ і АР відповідно. Доведіть, що відрізки ЕР і АС перпендикулярні.

55.  Кут між висотою і діагоналлю ромба, проведеними з однієї вершини, дорівнює 42°. Знайдіть кути ромба між сторанми і діагоналями ромба.

56.  Висота, проведена з вершини тупого кута ромба, поділяє його сторону навпіл. Знайдіть: 1)кути ромба; 2) сторону ромба, якщо його менша діагональ дорівнює 16 см.     

57.  Розрізати ромб на  а)рівнобедрені; б) тупокутні; в) прямокутні; г) гострокутні трикутники.

58.  Середини чотирьох сторін ромба  утворили чотирикутник.  Якого виду чотирикутник, що утворився?

59.  Середини чотирьох сторін прямокутника  утворили чотирикутник.  Якого виду чотирикутник, що утворився?

60.  Середини чотирьох сторін паралелограма утворили чотирикутник.  Якого виду чотирикутник, що утворився?

61.  Периметр ромба дорівнює 8. Знайти кути ромба, якщо площа ромба є найбільшою із усіх можливих ромбів із периметром 8 см..

62.  Побудуйте ромб: за стороною і діагоналлю; за висотою і діагоналлю.

63.  Користуючись тільки лінійкою з паралельними краями, проведіть через середину відрізка АВ пряму, яка перпендикулярна до нього.

Квадрат

64.  Доведіть, що прямокутник, діагоналі якого перпендикулярні, є квадратом.

65.  На стороні квадрата побудовано рівносторонній трикутник так, що вершина трикутника лежить в середині квадрата.  Вершину рівностороннього трикутника, що лежить в середині квадрата, з’єднали з чотирма вершина квадрата, утворивши чотири трикутники, що розрізають квадрат на чотири частини. Знайти кути усіх цих трикутників.

66.  Периметр квадрата дорівнює 36 см. Знайдіть відстань від точки перетину діагоналей квадрата до його сторін.

67.  Діагональ    квадрата   дорівнює   4 см.    Його сторона    є    діагоналлю    другого    квадрата. Знайдіть сторону другого квадрата.

68.  У рівносторонній трикутник вписано квадрат так, що дві вершини лежать на різних сторонах трикутника, а дві інші — на одній стороні трикутника.  Знайти кути усіх трикутників, що утворилися в середині рівностороннього трикутника. Знайти периметр квадрата, якщо периметр даного трикутника 6 см.

69.  У  рівнобедрений   прямокутний  трикутник  з гіпотенузою 18 см вписано квадрат, дві вершини якого лежать на гіпотенузі трикутника, а дві інші — на катетах. Знайдіть периметр квадрата.

70.  У прямокутнику АВСD бісектриси кутів А і В перетинають сторони ВС і АВ в точках Е і К відповідно. Доведіть, що чотирикутник АВEК — квадрат.

71.  На продовженні сторони АВ квадрата АВСD за точку В взяли точку Е таку, що промінь ВЕ поділяє кут АВС у відношенні 1 : 2. Знайдіть периметр квадрата, якщо ВЕ = 6 см.

72.  Побудуйте квадрат за його периметром.

73.  Побудуйте квадрат за різницею його діагоналі та сторони.

74.  Виразіть сторону квадрата через: а) радіус описаного кола; б) радіус вписаного кола; в) діагональ квадрата; г) площу квадрата; д) периметр квадрата.

75.  На чотирьох сторонах квадрата побудовані чотири правильні трикутники, що лежать зовні квадрата. Знайти периметр чотирикутника, що побудований на вершинах рівносторонніх трикутників, якщо ці вершини не лежать на квадраті.  Периметр квадрата дорівнює 4 м.