СКЛАДАННЯ ЗАДАЧ НА ПАРАЛЕЛОГРАМИ

СКЛАДАННЯ ЗАДАЧ НА ПАРАЛЕЛОГРАМИ

Текст задачі «Площі діагональних перерізів та бічна поверхня прямого парале­лепіпеда відповідно дорівнюють 246 см², 510 см² та 1092 см². Знаючи, що площа основи на 972 см² більша від площі мен­шої бічної грані  паралелепіпеда, знайти його об'єм».

Проте в більшості випадків при складанні задач на паралелограми та пара­лелепіпеди з цілими довжинами сторін та діагоналей досить мати паралелограм, у якого тільки сто­рони та діагоналі виражені цілими числами; чи виражається площа паралелограма раціональним числом чи ні, немає значення. Зважаючи на те, що задачі, в яких можуть бути використані дані про такі паралелограми, досить різні, таблиця 6 більша, ніж попередні.

Таблиця  6. Таблиця цілочисельних паралелограмів

а  b  d1  d2	4 7 7 9	5 10 9 13	6 7 7 11	6 ІЗ 11 17	7 9 8 14	7 11 12 14	7 16 13 21	7 22 21 25	8 9 11 13	8 11 9 17	8 19 15 25	8 27 25 31	9 ІЗ 10 20	9 17 16 22	9 19 20 22	9 22 17 29	10 11 9 19	10 15 11 23	10 15 17 19	10 23 23 27	10 25 19 33	11 12 13 19	11 13 16 18
а  b  d1  d2	11 16 15 23	11 17 12 26	11 18 19 23	11 23 20 30	11 27 26 32	11 29 ЗО 32	12 19 13 29	13 14 17 21	13 16 15 25	13 16 11 27	13 18 19 25	13 19 22 24	13 21 11 32	13 24 23 31	13 26 27 31	13 29 24 38	14 17 21 23	14 23 15 35	14 27 25 35	15 16 11 29	15 20 17 31	15 23 22 32	15 25 26 32
а  b  d1  d2	15 25 26 38	15 26 29 31	16 17 19 27	16 21 13 35	16 23 27 29	16 27 17 41	17 19 20 30	17 19 12 34	17 20 17 33	17 21 26 28	17 24 19 37	17 26 29 33	17 28 25 39	17 29 18 44	17 30 23 43	18 19 23 29	18 25 23 37	18 29 31 37	19 22 13 39	19 22 27 31	19 23 22 36	19 25 26 36	19 26 15 43
а  b  d1  d2	19 27 32 34	19 28 21 43	19 ЗО 29 41	20 29 31 39	21 22 25 35	21 22 13 41	21 23 28 34	21 25 14 44	22 29 21 47	22 29 25 45	23 24 19 43	23 24 23 41	23 24 29 37	23 27 20 46	23 28 15 49	23 29 36 38	24 29 25 47	26 29 15 53	27 28 25 49	27 29 32 46	28 29 15 55	28 29 21 53	28 29 35 45

У збірниках геометричних задач використано незначну частину даних цієї таблиці. Проте вона дає дані для складання, наприклад, таких планіметричних задач:

Одна з сторін паралелограма дорівнює його діагоналі. Знайти цю сторону, якщо друга сторона і друга діагональ відповідно дорівнюють а та Ь (наприклад, а = 4, b = 9; a = 6, b= 11; а = 10, b = 27; а = 20, b = 33; а = 24, b = 41).

Сторони та діагональ паралелограма становлять ариф­метичну прогресію з різницею а. Знайти сторони (периметр) паралелограма, якщо друга діагональ паралелограма дорів­нює b (напpиклад, а = 1,

b = 19; а = 11, b = 25; а = = 13,  b = 23;  а = 11,  b = 29).

Сторона та діагоналі паралелограма становлять ариф­метичну прогресію з різницею а. Знайти діагоналі (або пе­риметр) паралелограма, якщо друга сторона його дорівнює b (наприклад, а= 4, b= 10; а = 2, b =b8; а = 6, b = 18).

Одна з діагоналей паралелограма є середнє арифме­тичне його сторін, а друга вдвоє більша від однієї з його сторін. Визначити сторони (або діагоналі) паралелограма, знаючи, що периметр його дорівнює 32 см.

Знайти діагоналі паралелограма за його сторонами та різницею (або відношенням) діагоналей.

Знайти сторони паралелограма за його діагоналями та периметром (або різницею сторін, або відношенням сторін).

Діагоналі паралелограма АВСD перетинаються в точці D. Знайти діагоналі паралелограма, якщо периметри трикутників АBD і ВСD та периметр паралелограма відпо­відно дорівнюють Р1, Р2 та Р3 (наприклад,

16 см, 21 сm та 30 см;

20 см, 27 см та 38 см;

3 дм   4 дм та 56 см і т. д.).

Одна з діагоналей паралелограма більша від сторін його відповідно на а та b, але менша від другої діагоналі на  с. Визначити сторони (або периметр, або діагоналі) пара­лелограма.

Бісектриса внутрішнього кута паралелограма поділяє одну з його сторін на відрізки по 5 дм, а діагональ — на відрізки 3 дм та 6 дм. Визначити другу діагональ парале­лограма.

Таблицю 6 зручно використовувати і при складанні задач на медіани трикутника.

БАНК ЗАДАЧ НА ПАРАЛЕЛОГРАМАХ

Ромб.

1. Висота ромба проведена з вершини тупого кута, ділить його основу на відрізки довжиною m і n. Знайти діагоналі ромба.

2. Висота проведена з вершини тупого кута ромба, ділить сторону на відрізки 7 см і 18 см, починаючи від вершини гострого кута. Обчислити радіус вписаного кола.

3. Сторони паралелограма дорівнюють 7 см і 9 см, а менша його діагональ - 8 см. Знайти другу діагональ.

4. Сума діагоналей ромба дорівнює 70 см, а сторона - 25 см. Знайти висоту ромба.

5\. Різниця діагоналей ромба дорівнює 10 см, а його периметр дорівнює 100 см. Обчислити площу ромба.

6. Діагоналі ромба відносяться, як 3:4. Знайти висоту ромба, якщо його сторона дорівнює 25 см.

7. Діагоналі ромба дорівнюють 6 і 8 см. Обчислити периметр подібного йому ромба, висота якого дорівнює 48 см.

8. Перпендикуляр, проведений з точки перетину діагоналей ромба,    ділить його сторону на відрізки 16 см і 9 см. Знайти діагоналі ромба.

9. Перпендикуляр, проведений з вершини гострого кута паралелограма до його діагоналі, ділить її на відрізки 18 см і 6 см. Знайти діагоналі паралелограма, якщо сума його сторін дорівнює 48 см.

10. Більша діагональ ромба ділить його висоту, проведену з вершини тупого кута, на відрізки 75 см і 21 см. Знайти площу ромба.

11 .Різниця між стороною і висотою ромба дорівнює 1 см. Діагоналі ромба відносяться, як 3:4. Знайти периметр ромба.

12.Точка дотику вписаного в ромб кола ділить його сторону на відрізки 16 см і 9 см. Обчислити діаметр кола.

13. Більша діагональ ромба ділить його висоту, проведену з вершини тупого кута, на відрізки у відношенні 25 : 7. Обчисліть площу ромба, якщо його сторона дорівнює 100см.

14. Тупий кут ромба дорівнює 120° .3 вершини цього кута до протилежних сторін ромба проведено два перпендикуляри, відстань між основами яких дорівнює 12см.Обчисліть периметр ромба.

15. Висота, проведена з вершини тупого кута ромба, ділить його сторону на відрізки 7 і 18см, починаючи від вершини гострого кута. Обчисліть площі частин, на які ділить ромб ця висота.

16. В ромб вписано коло радіуса Я. Знайти площу ромба, якщо його більша діагональ дорівнює 4Я.

17. Діагоналі ромба відносяться, як 3:4, а їх різниця дорівнює 20см. Обчисліть площі частин, на які ділить ромб пряма, що проходить через вершину тупого кута і середину протилежної сторони.

18. Сторона ромба дорівнює 25см, а його висота - 24см. Знайдіть діагоналі ромба.

19. Діагоналі ромба відносяться, як 3:4, а його периметр дорівнює 100см. Обчисліть площу ромба.

20. В ромб з гострим кутом 30° вписано коло, а в коло - квадрат. Знайти відношення площі ромба до площі квадрата.

21. Перпендикуляр, проведений з вершини тупого кута ромба, ділить його сторону на відрізки 7 і 18см., починаючи від вершини гострого кута. Знайдіть діагоналі ромба.

Паралелограм.

1. Сторони паралелограма дорівнюють 40 см і 60 см, а різниця діагоналей дорівнює 8 см. Знайти діагоналі паралелограма.

2.Висоти паралелограма, проведені з вершини тупого кута, дорівнюють 12 і 8 см, а кут між ними – 30 град. Обчислити площу паралелограма.

3. Одна із сторін паралелограма дорівнює 15 см, а тупий кут 120 град. Протилежна до цього кута діагональ дорівнює 21 см. Знайти периметр паралелограма.

4: Бісектриса кута паралелограма, який дорівнює 150 град., ділить його сторону на відрізки 24 см і 16 см, починаючи від вершини протилежного кута. Обчислити площу паралелограма.

5. Діагоналі паралелограма дорівнюють 7 см і 11 см, а сторони відносяться, як 6:7. Знайти периметр паралелограма.

6. Діагоналі паралелограма дорівнюють 7 см і 11 см, а менша його сторона - 6 см. Знайти другу сторону.

7. Діагоналі паралелограма дорівнюють 80 і 120 см, а різниця його сторін дорівнює 48 см. Обчисліть периметр паралелограма.

8.   Бісектриса кута паралелограма, який дорівнює 30°, ділить сторону на відрізки 18 см і 12 см, починаючи від вершини протилежного кута. Знайдіть площу паралелограма.

9.   Сторони паралелограма дорівнюють 7 см і 9 см, а діагоналі відносяться як 4:7. Знайдіть довжини діагоналей.

10. Перпендикуляр, проведений з вершини тупого кута паралелограма до його діагоналі ділить її на відрізки 41 см і 57 см. Знайдіть діагоналі паралелограма, якщо різниця сторін паралелограма дорівнює 14 см.

11. Одна із сторін паралелограма дорівнює 15 см, а гострий кут 60°. Протилежна до цього кута діагональ дорівнює 21 см. Обчисліть периметр паралелограма.