БАНК ЗАДАЧ ПО ТЕОРЕМІ ПІФАГОРА

БАНК ЗАДАЧ ПО ТЕОРЕМІ ПІФАГОРА

Тренувальні вправи до теореми Піфагора. Мова може йти про 6 лінійних елементів прямокутного трикутника: а, b, с, ас, bc, hс (тобто про кате­ти, гіпотенузу, проекції  катетів на гіпотенузу та про висо­ту, проведену до гіпотенузи!).  Для розв'язування   трикут­ника досить знати два лінійні елементи; тому початковими даними можуть бути:
1) а, b;
2) а, с;
3) b, с;
4) а, hс;
5) b, hс;  
6) с, hс;
7) a, ас;
8) а,   bc;
9)  b,  ас;  
10)  b, bс; 
 11) с, ас;  
12)   с,   bс; 
 13)   ас, bc;  
 14)   ас,   hс;
15) bc, hс.  
З цих 15-ти типів треба виключити ті, які повторюють попередні (наприклад b, с принципово не відрізняється від а, с). 
Тоді залишаться типи 1, 2, 4, 6, 7, 8, 13, 14. 
Це означає, що дані про деякий прямокутний трикутник можуть дати мате­ріал для 8 задач, що відрізняються одна від одної початко­вими даними.
ЗАДАЧІ НА ДОВЕДЕННЯ
ВЛАСТИВОСТЕЙ ПРЯМОКУТНОГО ТРИКУТНИКА
1.  У прямокутному трикутнику сума гострих кутів рівна 90о. Довести це.
2.  Рівнобедрений прямокутний трикутник має рівні гострі кути по 45о. Довести це.
3.  У прямокутному трикутнику напроти кута 30о лежить катет, що дорівнює половині гіпотенузи. Довести це.
4.  Площа прямокутного трикутника рівна половині добутку  його катетів. Довести це.
5.  У прямокутному трикутнику медіана, що проведена до гіпотенузи рівна половині гіпотенузи. Довести це.
6.  У прямокутному трикутнику кут між бісектрисами гострих кутів рівний 135о. Довести це.
7.  У прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута ділить кут між медіаною та висотою, що проведені з вершини прямого кута навпіл. Довести це.
8.  У прямокутному трикутнику висота, що проведена з прямого кута розділяє трикутник його на два прямокутних трикутники, у яких рівні кути.  Довести це.
9.  У прямокутному трикутнику медіана, що проведена з прямого кута розділяє трикутник його на два необов’язково рівних рівнобедрених трикутники. Довести це.
10.            У прямокутному трикутнику кут між медіаною та висотою, що проведені з вершини прямого кута дорівнює різниці гострих кутів трикутника.  Довести це.
11.            У прямокутному трикутнику кут між медіаною та бісектрисою, що проведені з вершини прямого кута дорівнює піврізниці гострих кутів трикутника. Довести це.
12.            У прямокутному трикутнику кут між бісектрисою та висотою, що проведені з вершини прямого кута дорівнює піврізниці гострих кутів трикутника. Довести це.
13.            У прямокутному трикутнику центр описаного кола  лежить на середині гіпотенузи, а радіус цього кола дорівнює  половині гіпотенузи, або найменшій медіані. Довести це.
14.            У прямокутному трикутнику центр вписаного кола  лежить в точці перетину двох бісектрис, а радіус цього кола дорівнює  половині сумі катетів без гіпотенузи. Центр вписаного кола є вершиною квадрата, який містить прямий кут даного трикутника. Довести це.
15.            У прямокутному трикутнику квадрат висоти, що проведена до гіпотенузи,  рівний добутку проекцій катетів на гіпотенузу(середнє геометричне проекцій катетів на гіпотенузу). Довести це.
16.            У прямокутному трикутнику квадрат катета рівний добутку довжини проекції цього катета на гіпотенузу на довжину гіпотенузи. Довести це.
17.            У прямокутному трикутнику точка перетину висот  лежить у вершині прямого кута. Довести це.
18.            Теорема Піфагора: У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів його катетів. Довести це.
19.            У прямокутному трикутнику площа кола побудованого на гіпотенузі, як на діаметрі, дорівнює сумі площ кіл, що побудовані на його катетах, як на діаметрах. Довести це.
20.            У прямокутному трикутнику площа квадрату побудованого на гіпотенузі, як на стороні, дорівнює сумі площ двох квадратів, що побудовані на його катетах, як на сторонах. Довести це.
21.            Прямокутний трикутник можна розрізати на три тупокутних трикутники. Довести це.
22.            Прямокутний трикутник можна розрізати на гострокутні трикутники. Довести це.
23.            Прямокутний трикутник можна розрізати на три трапеції. Довести це.
24.            Прямокутний трикутник не можна розрізати на паралелограми. Довести це.
25.            Прямокутний трикутник можна розрізати на три чотирикутники, діагоналі яких перпендикулярні, і при цьому  має лише дві пари  рівних суміжних сторін, з протилежними нерівними сторонами.  Такі чотирикутники називаються дельтоїди. Довести це.
26.            У прямокутному трикутнику,  якщо гострі кути відносяться, як 1:3, то бісектриса прямого кута рівна одному з катетів цього трикутника. Довести це.
27.            У прямокутному трикутнику,  якщо гострі кути відносяться,  як 1:2, то медіана прямого кута рівна одному з катетів цього трикутника. Довести це.
28.            У прямокутному трикутнику  висота, що проведена на гіпотенузу, ділить її на відрізки, різниця яких рівна одному з катетів трикутника, то гострі кути відносяться, як 1:2. Довести це.
29.            У прямокутному трикутнику, якщо сторони утворюють арифметичну прогресію, то різниця цієї прогресії рівна радіусу вписаного в цей трикутник кола. Довести це.
30.           Висота, що виходить з вершини прямого кута прямокутного трикутника, рівна добутку катетів, поділеному на гіпотенузу. Довести це.
31.           Відношення проекцій катетів на гіпотенузу дорівнює відношенню квадратів катетів. Довести це.
32.           Якщо сторона трикутника являється діаметром його описаного кола, то протилежний їй кут – прямий, тобто трикутник прямокутний. Довести це.
33.            Якщо квадрат найдовшої сторони трикутника рівний сумі квадратів двох інших сторін цього трикутника, то трикутник прямокутний. Довести це.
34.           Теорема Гіппократа: Сума площ „місяців”, що лежать між дугою напівкола, яке побудоване на гіпотенузі як на діаметрі, і дугами кіл, що побудовані на катетах як на діаметрах, дорівнює площі даного трикутника. Довести це.
35.           У прямокутному трикутнику з гострим кутом 30о найменша висота  ділить гіпотенузу у відношенні 3:1, починаючи з вершини меншого кута. Довести це.
36.  Точка дотику вписаного в прямокутний трикутник кола ділить його гіпотенузу на два відрізки, добуток  довжин  яких  дорівнює  площі  прямокутного трикутника. Довести це.
37.           У прямокутному трикутнику з гострим кутом 300  бісектриса середнього кута ділить середню сторону у відношенні 1:2 починаючи від вершини прямого кута. Довести це.
38.            У прямокутному трикутнику з гострим кутом 300  найменша висота рівна половині більшого катета. Довести це.
39.            У прямокутному трикутнику з гострим кутом 750  найменша висота рівна чверті гіпотенузи. Довести це.
40.            У прямокутному трикутнику з гострим кутом 750  найменша висота рівна половині радіуса описаного кола. Довести це.
41.            У прямокутному трикутнику з гострим кутом 150  найменша квадрат найменшої висоти рівний половині площі трикутника. Довести це.
42.            У прямокутному трикутнику з гострим кутом 600  кожна сторона поділена точкою на дві частини  у відношенні 1:2, починаючи з вершини більшого кута. Ці три точки поділу сторін утворюють правильний трикутник, площа якого становить дві дев’ятих площі прямокутного трикутника. Ці три точки поділу сторін є точками дотику вписаного кола в даний прямокутний трикутник. Довести це.
43.            У прямокутному трикутнику з гострим кутом 600  найменша висота ділить бісектрису середнього кута навпіл. Довести це.
44.           У прямокутному трикутнику з гострим кутом 600  найменша медіана перпендикулярна до бісектриси середнього кута. Довести це.
45.            У прямокутному трикутнику з гострим кутом 600  бісектриса середнього кута ділить навпіл найменшу медіану. Довести це.
46.           У прямокутному трикутнику найменша медіана ділить навпіл площу цього трикутника. Довести це.
47.           У прямокутному трикутнику сторони можуть виражатися натуральними числами за формулами:
48.           а = m2 – n2;  b = 2mn; c = m2 + n2 .
Довести це.


Коментарі

  1. Big-boss77714 березня 2023 р. о 08:47

    Дякую за збірник задач. Доповнюю список ще кількома задачами по темі "Теорема Піфагора" з рішеннями: https://www.mathros.net.ua/teorema-pifagora.html

    ВідповістиВидалити

Дописати коментар

Популярні дописи з цього блогу

Властивості трапеції

Зображення
"Найбільша помилка - вважати, що ти ніколи не помиляєшся." Томас Карлейль Трапеція                                     Трапе́ція  — це чотирикутник, дві протилежні сторони якого  паралельні . Паралельні сторони називаються  основами  трапеції (сторони AB та DC на малюнку). Інші сторони називаються  бічними сторонами  (сторони AD та CB). Виділяють три спеціальні класи трапецій: ·           Рівнобічна  трапеція, тобто трапеція у якої бічні сторони рівні. ·           Прямокутна  трапеція — це трапеція у якої два кута прямі. ·           Різностороння  трапеція, у якої всі сторони різні. Відрізок,...
Докладніше

Контрольна робота з теми «Подібність трикутників»

Контрольна робота з теми «Подібність трикутників» Варіант 1. Початковий та середній рівень. У завданнях 1-6 виберіть правильну відповідь. 1.(1 бал) Сторони D АВС а = 3 м, b = 4 м, c = 5 м . Знайдіть найменшу сторону подібного йому D А 1 В 1 С 1 , якщо найбільша сторона с 1 = 2,5 м. А) 6 м;    Б) 2 м;       В) 1,5 м;      Г) 2,5 м;       Д) інша відповідь. 2. (1 бал) Точки М та Р лежать відповідно на сторонах  АВ та СВ D АВС, причому РМ çç АС. Знайдіть сторону  ВС, якщо АС =12  м, МР = 4 м, ВР = 5 м . А)15 м;    Б) 10 м;       В) 12 м;      Г) 18 м;       Д) інша відповідь. 3. (1 бал) Відрізки АВ та МР перетинаються в точці О, АО:ОВ = РО:ОМ = 2:3,  ВМ=15 м. Знайдіть довжину відрізка АР. А)18 м;    Б) 22,5 м;   ...
Докладніше

Властивості прямокутних трикутників

Довідник з геометрії прямокутного трикутника Властивості  прямокутних трикутників 1. У прямокутному трикутнику сума гострих кутів рівна 90 0 . 2. Рівнобедрений прямокутний трикутник має рівні гострі кути по 45 0 . 3. У прямокутному трикутнику напроти кута 30 0 лежить катет, що дорівнює половині гіпотенузи. 4. Площа прямокутного трикутника рівна половині добутку  його катетів. 5. У прямокутному трикутнику медіана, що проведена до гіпотенузи рівна половині гіпотенузи. 6. У прямокутному трикутнику кут між бісектрисами гострих кутів рівний 135 0 . 7. У прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута ділить кут між медіаною та висотою, що проведені з вершини прямого кута навпіл. 8. У прямокутному трикутнику висота, що проведена з прямого кута розділяє трикутник його на два прямокутних трикутники, у яких рівні кути. 9. У прямокутному трикутнику медіана, що проведена з прямого кута розділяє трикутник його на два необов’язково рівних рівнобедрених трикутн...
Докладніше