8 клас. Геометрія n-кутників

Завдання 1: Чи існує 25-ланкова ламана, така, що перетинає кожну свою ланка рівно один раз? Розв’язання: Ні. Ланки повинні розбиватися на пари пересічних Завдання 2: Чи може обертатися система з 11 шестерінок, якщо 1-а зчеплена з 2-ою, 2-а – з 3-ою і так далі, а 11-а зчеплена з 1-ою? Розв’язання: Ні. Напрями обертання шестерінок повинні чергуватися. Завдання 3: Чи може пряма, що не містить вершин 1001-угольника, перетинати кожну його сторону? Розв’язання: Ні. Будь-які сусідні дві вершини 1001-кутника повинні лежати по різні сторони від прямої. Завдання 4: На клітчастому папері намальований замкнутий шлях (по лініях сітки). Довести, що він має парну довжину (сторона клітки має довжину 1) . Розв’язання:  При проходженні шляху кроків вгору повинно бути стільки ж, скільки кроків вниз, а кроків управо - стільки ж, скільки кроків вліво. Завдання 5: Равлик повзе по площині з постійною швидкістю, повертаючи на 90 градусів кожні 15 хвилин. Довести, що він може по...

Коло на площині, даного радіуса r , у певній вибраній декартовій системі координат x і y , з центром в точці (a, b) описується стандартним рівнянням кола :  (х - а) 2 + (у - b ) 2 = R 2 , де С(а; b ) – центр кола , R – рад і ус кола. У полярн ій систем і координат рівняння кола має вигляд  r = R . Це рівняння випливає з теореми Піфагора , при її застовуванні до кожної точки кола, як показано на рисунку справа, де радіус це гіпотенуза прямокутного трикутника , катети якого x − a та y − b. Якщо центр кола знаходиться в початку координат (0, 0), тоді рівняння спрощується до такого вигляду:    х 2 + у 2 = R 2 , Загальне рівняння кола: ах 2 + а y 2 + dx + ey + f = 0, де  а≠ 0 , d ,   e , f  - відомі дійсні числа,  х, у – змінні. Виділенням повних квадратів відносно змінної х та відносно змінної у, це рівняння можна звести до  вигляду:  (х - а) 2 + (у - b ) 2 = R 2 . Наприкл...

ВІДНОШЕННЯ  ВІДРІЗКІВ, ЩО УТВОРЮЮТЬСЯ НА СТОРОНАХ ТРИКУТНИКА  ВНУТРІШНІМИ  ЛІНІЯМИ Розглядається класична задача на знаходження відношення  відрізків, що утворюються на сторонах трикутника  прямими  лініями, які виходять з вершин трикутника і перетинаються в одній точці, якщо відомо відношення для двох відрізків. Задача. Нехай існує трикутник АВС, у якого з вершини А та з вершини В проведено два відрізки CC 1 та ВВ 1 . Ці відрізки перетинаються у точці О і точкою поділу діляться на частини АО:ОА 1 = x:y та ВО:ОВ 1 = p:q. У якому відношенні ділиться точкою О відрізок СС 1 , та у якому відношенні ділиться кожна сторона  трикутника АВС точками А 1 , В 1 , С 1 ? Доведемо, що 1)    OC:OC 1 = [у p + 2 yq + qx ]:[ xp - yq ] ; 2)    AC 1 :C 1 B = [ q(x + y) ]:[ (p + q)y ]; 3)    AB 1 : B 1 C = [px - yq]:[py + qy]; 4)    BA 1 : A 1 C = [xp - yq]:[qx + qy]. Розв’язання. Скориста...